悬赏100分请教学过量子力学的大大们几道判断题

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a 如果该力学量与哈密顿量对易，则无论系统是否处在定态，该力学量平均值不随时间演化

c 不含时的哈密顿量始终是一个守恒量，与体系处在什么态无关

d/e 定态只是能量本征态，当能量本征态有简并时，同一能量对应的两个能量本征态的任意线性组合还是能量本征态。对中心场，特例比如氢原子，此时n相同,l不同的态是存在的，这两个态的任意线性叠加不具有确定角动量。对自由粒子，哈密顿量是p^2/2m,所有p^2相等的态都是能量本征态，在三维对应于动量空间的一个球面，一维也有+p和-p两个可能的态

f 反例见上，一维自由粒子，教科书上的证明只对束缚态成立。

对称性破缺的举例

看你考哪个学校的。有些学校的量子力学考得浅一些，比如南开，有时候会出一些量子物理的内容，有些单位，比如中国科学院就考得比较难，经常会出一些高等量子力学或者统计物理和量子力学交叉的题。比如今年出的谐振子与角动量的耦合，就是一例。不过不管哪个单位的量子力学，始终是有一些共通的地方的，比如说，好一些的学校往往会从曾谨言，张永德等人的教材或者习题集中选一些题，而且试卷具有继承性，因此开始复习前一定要购买前五年的试卷以作参考，分析其考的重点与难点，针对复习和练习。就量子力学的基础内容而言，首先是数学物理方法的一些内容要求掌握，比如：三角函数积分化成复指数函数积分，exp(-ax^2)在0 到无穷区间上的积分公式的导出， xexp(-a|x|)在负无穷到正无穷区间上的积分，归一化运算的定义及方法，球坐标系和柱坐标系里解微分方程，用分离变数法加边界条件求解微分方程，球谐函数的推导与前几个特殊球谐函数的表示，用级数法求解微分方程等傅立叶变换，Dirac 符号和克朗内克符号推荐再掌握微分算子法求特解。然后是量子物理。比如：波粒二象性，光量子理论，黑体辐射导出，测不准原理，角动量量子化(波尔理论)再是量子力学基础，比如：态函数与量子态，态函数的叠加原理与线性定理矩阵的概念，算符的概念和用矩阵表示算符，薛定厄方程和能量算符，能量本征值，本征态，本征态在正交基上的展开，概率密度，概率流密度厄米算符，涨落，一维势阱(无限势阱，势阶，势垒)的推导及应用，及用分离变数法求含时变化与多维情况。动量表象和能量表象，表象变换含时演化。就可以进入正题了，又分几个部分：1。谐振子，这一部分有两大做法，一类是通过厄米多项式来做，是用级数法求解微分方程，可以仔细算一下，但是考试不推荐这样用。另一类是通过升降算符做，这种方法很好。这一部分主要内容有：谐振子的本征态和本征值，谐振子的矩阵元和跃迁，荷电谐振子的跃迁，谐振子升降算符，谐振子相干态2。对易子。这一部分很重要，是量子力学里最重要的内容之一，除了对易子运算，算符代数等内容之外，还要掌握埃伦费斯特定理，位力定理，费曼-黑尔曼定理的导出，应用，要掌握动量算符和能量算符的对易关系，位置算符和动量算符的对易关系，位置算符和能量算符的对易关系。3。中心力场，角动量，自旋。这一部分的内容其实是一样的，中心力场是用球谐函数(θφ 表象)表示，角动量是用lm 表象表示，自旋又是特殊的角动量。采用角动量，自旋理论就可以采用矩阵形式很方便的求解有心力场问题和跃迁问题，也可以方便微扰论的应用。中心力场则是球坐标系下微分方程的求解。这一部分的主要内容有：守恒量完全集的定义与应用，角动量的量子化及其在不同表象中的表达，角动量代数与微分表示，升降算符与角动量间的对易关系，自旋，泡利算符的一般表达与常用表达，自旋空间旋转，氢原子本征态与本征值，氢原子光谱，角动量耦合(L-s 耦合与J-J 耦合)磁矩，电磁作用下的粒子运动(这部分要求不高，一般只要求磁场作用下的自旋变化。该类问题又有四种解法，其中在薛定谔绘景下有两种解法，在海森堡绘景下有两种解法，但是结果是一样的)角动量和谐振子耦合，今年中科院的题出现了，以前没有出现过，属于热力学与统计物理和量子力学的交叉。4.全同粒子，对称性。由于这是高等量子力学的主要内容之一，因此考研这个部分要求应该不高吧，知道 Bose 子和Fermi 子的定义，以及常见粒子哪些是玻色子，那些是费米子就可以了，如果不放心，找本教材再看看。5.计算方法。包含变分法，微扰法，准经典近似法。变分法一般只考Ritz 变分法，背几个特例就行。微扰法分含时微扰和定态微扰，含时微扰求演化，定态微扰求能级。定态微扰是基础。非简并态微扰很简单，所有书上都有，简并态微扰就不那么简单了，一阶简并微扰用 H'-λ I=0 求，二阶简并微扰要分类求，简并体系内的和非简并一样，简并体系外的则是把简并部分和非简并部分的二阶微扰的几个对应结果求和。含时微扰考得很少。WKB 近似法考得少，要考的话可能和固体物理结合。微扰法不写成矩阵形式得时候要弄清楚用法，就是a|b 变成积分∫a*bd(x)。微扰法的应用：塞曼效应，Stern-Gerlach 实验，Stark 效应，势阱中有势垒，不对称势阱。6. 散射理论：掌握波恩近似就可以了最后再推荐几本书：顾莱纳的量子力学：导论皮莱阁的全美经典量子力学程檀生的现代量子力学喀兴林的高等量子力学曾谨言的量子力学卷一量子力学习题精选与剖析张永德的量子力学物理学大题典量子力学卷宋鹤山的量子力学典型题精讲周世勋的量子力学教程注意，不要全部细看，按你的基础和需要选择合适的。不要现在去看什么路径积分，读研的时候再去看吧。

量子力学

下面列举几个对称性自发破缺的事例： 实验已经证明，强作用下宇称守恒。这是与微观粒子的镜象对称性相联系的守恒定律。1956年前后，在对最轻的奇异粒子衰变过程的研究中遇到了“t ~ q 疑难”。实验中发现的t 和q 粒子，它们质量相等，电荷相同，寿命也一样。但它们衰变的产物却不相同：实验结果的分析表明，3个p 介子的总角动量为零，宇称为负。而2个p 介子的总角动量如为零，则宇称只能是正。因此，从质量、寿命和电荷来看， q 和t 似乎是同一种粒子。但从衰变行为来看，如果宇称是守恒量，则q 和t 就不可能是同一种粒子。

1956年，李政道和杨振宁解决了这个难题。他们提出弱相互作用过程中宇称不守恒的设想，吴健雄的钴60原子核b 蜕变实验验证了这个设想。1957年，吴健雄在10-2 K下做原子核b 衰变实验，用核磁共振技术使核自旋按确定方向排列，观察b 衰变后的电子数分布，发现无镜像对称性 —— 证明了弱作用的宇称不守恒性。

1957年李政道和杨振宁获诺贝尔物理奖。

1900年法国学者贝纳尔 (H.Benard)发现：从下面均匀加热水平容器中薄层液体时,若上下温差超过一临界值, 液体中突现类似蜂房的六边形网格, 液体的传热方式由热传导过渡到了对流，每个六角形中心的液体向上流动，边界处液体向下流动。这是对流与抑止因素(黏性和热扩散)竞争的结果。

大多数动物在外观上都具有左右对称性，但体内的器官就不那么对称了。如果深入到分子层次，就会发现一种普遍存在于生物界的更深刻的左右不对称性。1844年德国化学家E.E.Mitscherlich发现，酒石酸钠铵和葡萄酸钠铵的结晶具有相同的晶形，一样的化学性质，但溶液的旋光性不同。前者使偏振面右旋，后者无旋光性。1847年法国Louis Pasteur发现了葡萄酸钠铵中有互为镜象对称的两种旋光异构物，其结构如图所示。对此现象解释的信念是：光活性有与生命过程相联系的起源。

现代生物化学指出：有机化合物的旋光异构现象与有机分子中碳原子四个键的空间构形有关。用L(livo)和D(dextro)分别表示左、右型旋光异构体，(+)、(-)代表该物质的溶液的旋光方向，（-）表示左旋，（+）代表右旋。碳四面体的左右两种构型、甘油醛中四个基团L、D两种构型以及丙氨酸的旋光异构体简要图示如左图，它明显地反映出了其结构的左右不对称性。生命的基本物质是生物大分子，它包括蛋白质、核酸、多糖和脂类。其中蛋白质是生命功能的执行者，其分子是右氨基酸组成的长链。每种氨基酸都应有L、D两种旋光异构体。但实验证明组成生物蛋白质的20种氨基酸都是L型的，D型氨基酸只存在于细菌细胞壁和其它细菌产物中。核酸是遗传信息的携带者和传递者，分为核糖核酸(RNA)和脱氧核酸(DNA)两种。右下图是DNA分子双螺旋结构模型，通常是右旋的。这正是生物大分子的手性特征。生物体内化合物的这种左右不对称性正是生命力的体现。维持这种左右不平衡状态的是生物体内的酶，生物一旦死亡，酶便失去活力，造成左右不平衡的生物化学反应也就停止了。由此可见，生命与分子的不对称性息息相关。问题是地球上生命发源之初，左右对称性的破缺是怎样开始的？即分子手性的起源是什么？生物的起源是什么？这些都是有待人们去研究的谜。

总之，时空、不同种类的粒子、不同种类的相互作用、整个复杂纷纭的自然界，包括人类自身，都是对称性自发破缺的产物。对称性破缺的机制是什么？实在现象中的对称性破缺与基本物理规律的对称性是否相容？不同层次的非对称性间如何关联？这些都是现代物理尚未解决的重要课题。 宇宙广大区域的真空中运行着光速的光子、中微子，超光速的引力子、反引力子，用E1=ma2方程计算，真空中蕴藏着的能量是很大的，而且不同区域的真空蕴藏的能量差异极大，如黑洞奇点的真空区和宇宙奇点的真空区与宇宙广大区域的真空相比较。

宇宙真空充满了引力子和反引力子，而且由于纯引力的黑洞存在，宇宙总体上已出现了引力子和反引力子的不对称，即引力子总量多于反引力子。对称性破缺的本质来自于宇宙真空的不对称性产生真空对称性自发破缺机制。

如果系统受到一个小扰动破坏了它的对称性，我们说它的对称性破缺，比如，原子中的这样一个扰动可以由电场引起，由于扰动的作用，原子将不再停留在它原先的定态上，而从一个能级跃迁到另一个能级，并发射或吸收一个可见光光子。对称性破缺同样出现在粒子中，这时的干扰因素就是宇宙中无所不在的引力子和反引力子。之所以出现“宇称不守恒”，是因有些粒子在真空中的引力子、反引力子的干扰下，必然会出现上述现象，而且较易出现在有弱核力参与的粒子转化过程中，因为这种力较弱，即反引力场较弱，较易受到外界的引力子或反引力子的干扰。 在宇宙中，上下级物质特别容易产生干扰，形成对称性破缺，粒子级物质较易对原子形成干扰，因为前者是后者的结构材料，同理，引力子级物质较易对粒子形成干扰，形成对称性破缺。而引力子级物质对原子、分子、生物体较难在短期内形成可察觉的干扰，因为它们存在巨大的质量差异，这种干扰只能渐进式的，一种从“量变到质变”的缓慢过程，引力子级物质最先影响粒子级物质，通过它逐渐对原子形成影响。

粒子世界的“不确定”、“测不准”就是因为粒子质量太小，而宇宙真空中的引力子、反引力子密度比光子、中微子等粒子高出很多倍，引力场使得宏观宇宙的时空都发生弯曲，粒子在无数引力子和反引力子的碰撞干扰下，出现“不确定”、“测不准”是必然的。

正是真空的这种特性，造成“宇称不守恒、CP破坏及时间（T）反演不变性的破坏、规范对称性的自发破缺”等一系列对称性丢失。而且宇宙必须存在对称中的不对称，完全对称的宇宙将会凝结，如果正奇子与反奇子在对抗与协同中完全对称，将不可能形成引力子与反引力子，如果正、反夸克组合出完全对称的正、反质子，正、反中子，今日的宇宙将只剩下微波辐射。

1、不能。因为两个量可对易等价于有共同的本征函数；

对于权重的那个，我举个简单例子，

波函数A=C1S1+C2S2，

力学量F作用在S1上本征值为f1，

S2上本征值是f2，（f1不等于f2）

那么，如果F作用在A上，我们比不能把f1C1S1+f2C2S2化成一个实数m乘以A的形式（物理量若有本征值，则本征值必为实数，曾谨言书上有证），所以就没有确定的本征值了。

2、我一看就知道你没学过矩阵力学或者是没学好那里，你可以看看曾谨言书上关于含时问题的解释，力学量守恒问题有基本判据：在F不显含时间的情况下，与H对易的力学量F一定是守恒的。这里要强调F不显含时间的原因是因为在薛定谔绘景中力学量一般是认为不含时的，而在海森堡绘景中得到的是力学量关于时间的演化函数。这是高量的内容有兴趣你自学一下。

回到这个问题，只要这个力学量不显含时间，并且和哈密顿量对易，那么就可以把泊松括号化到定态薛定谔方程，从而发现力学量守恒。（很显然，证明略）

此外，对于守恒量的理解你也出现了偏差，量子力学里面如果一个量是守恒量，那么即便它本身没有确定的本征函数，但它依然是守恒量。体系随时间演化，（只要势能不含时间），那么时间的效果只是给波函数的相位加上一个相因子，并不影响实际粒子的概率分布。

以上的解释说明比较概括抽象，希望你能再仔细把书研究透彻，搞清楚书上面到底是在做什么，目的是什么。

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